수점 수를 32비트로 표시한다고 하자. 여기서, 지수 부분을 10 비트, 부호 부분을 1 비트를 하고, 나머지를 소수 부분으로 할 때, 표현할 수 데이터 범위를 구하여라. 또한 지수 부분이 최대일 때, 소수 부분의 변화에 따른 최소 정밀도를 구하여라.
(solution)
주어진 문제에서는 아래의 그림과 같이 부동소수점을 표현한다.
지수 비트를 10비트를 사용할 경우, 지수의 범위는 0~1023까지 사용 가능하다. 따라서 지수 바이어스는 절반 값인 -511을 사용한다고 하자. 지수 부분에서 0과 1023은 무한대 또는 NaN를 나타내므로 실제 유효한 지수의 범위는 1~1022까지 이다. 표현 할 수 있는 가장 큰 수는 지수 부분이 1022이고, 가수 부분이 모두 1로 채워진 값이다.
표현 할 수 있는 가장 작은 수는 지수 부분이 1이고, 가수 부분이 모두 0으로 채워진 값이다.
지수 부분이 최대일 때, 소수 부분의 변화에 따른 최소 정밀도는 지수 부분을 최대로 하고 가수의 최하위 비트를 1비트 변화량에 대한 크기를 알아본다. 지수의 최대는 511승이 되고, 지수의 최하위 비트의 변화는 2의 -21승만큼 변화된다. 따라서 지수 부분이 최대일 때, 소수 부분의 변화에 따른 최소 정밀도 2의 490승이다.
6. 다음의 디지털 필터에 8비트로 양자화된 입력이 가해진다고 할 때, 출력 오차의 평균치를 수학식으로 나타내어라.
(solution)
주어진 입력 x의 범위가 -10~10까지라고 가정할 때, 입력 데이터를 8비트로 표현하면 ADC의 양자화 레벨은 다음과 같다.
양자화 구간에서 에러는 uniform한 하다고 가정하면 ADC 양자화의 평균 에러는 다음과 같다.
그리고 이 필터의 신호 gain을 구해보자. 시스템의 주파수 응답이 안정하다면, 시스템의 임펄스 응답은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 이 시스템의 신호 gain은 다음의 식과 같이 나타난다.
따라서 최종적인 시스템의 출력 오차에 대한 평균치는 다음과 같다.
7. 다음 이산 시스템의 Cascade와 Lattice 구조를 제시하여라.
(solution)
Cascade 구조로 필터를 표현하기 위하여 주어진 필터 식을 다음과 같이 쓴다.
위 식을 Cascade 구조로 나타내면 다음과 같다.
Lattice 구조로 나타내면, 아래와 같다. FIR 필터의 Lattice 구조와 다른 형태의 이러한 Lattice 구조는 Lattice-ladder 구조라고 한다.