3장 연습문제 솔루션
1. 다음 신호의 z-변환을 구하여라.
(a)
↑
(b)
(solution)
식 (3.1)의 z-변환 정의로부터
(a)
(b)
2. 다음 이산 신호들의 z-변환과 수렴 영역을 구하여라.
(a)
(b)
(c)
(solution)
(a)
식 (3.3)에 따라 즉 의 구간에서
(b)
(c)
위 식에서 두 항의 z-변환과 수렴영역은
결국 z-변환 는
3. 어떤 이산 신호의 z-변환의 수렴영역이 다음과 같다고 할 때 참인지 거짓인지 판명하라.
(a) 이산 신호는 이다.
(b) 이산 신호는 비인과(noncausal) 신호이다.
(c) 수렴영역 안에서 이산 신호는 BIBO 안정이다.
(solution)
(a) 거짓 ()
(b) 참
(c) 거짓 (계수에 크기를 모르기 때문에 확답할 수 없다.)
4. 어떤 이산 신호의 z-변환이 다음과 같다.
이때 다음 두 조건을 만족할 수 있도록 와 의 값을 구하라.
(a) 수렴 영역이일 때,이다.
(b) 수렴 영역이일 때,이다.
(solution)
(a) 수렴영역으로 보아 두 변환식의 이산신호는
임을 알 수 있다.
식에 주어진 조건을 대입하면,
(b) 마찬가지로 수렴영역으로 볼 때 이산신호가
임을 알 수 있다.
식에 주어진 조건을 대입하면,
5. 가 다음과 같을 때, 다음 조건에 따라와 수렴 영역을 구하라.
(a)
(b)
(c)
(d)
(solution)
(a)
(b)
(c)
(d)
6. 장제법(long division)을 이용하여, 다음 z-변환의 역변환을 구하여라.
(a)
(b)
(solution)
(a) 인과신호이므로 z에 대한 지수항이 음의 값을 가진다.
이 되고 장제법을 이용하여 분자를 분모로 나누면
(b) 반인과신호이므로 z에 대한 지수항이 양의 값을 가진다.
장제법을 이용하여 분자를 분모로 나누면
7. 다음 이산 신호의 컨벌루션을 z-변환을 이용하여 구하여라. 단 주어진 이산 신호는 인과 신호라고 가정하자.
(a)
(b)
↑
(solution)
(a) 과 을 변환하면 다음과 같다.
와을 곱하여 컨벌루션의 z-변환를 구하면
(b)과 을 변환하면 다음과 같다.
와을 곱하여 컨벌루션의 z-변환를 구하면
8. 다음 이산 신호의 극점과 영점을 복소평면에 나타내어라.
(solution)
는 8개의 영점 () 8개와 에서 1개의 극점을 가진다.
9. 다음 z-변환의 역변환을 (a) 멱급수 전개와 (b) 부분 분수 전개 방법으로 구하여라. 단 주어진 이산 신호는 인과 신호라고 가정하자.
(solution)
(a) 인과신호이므로 z에 대한 지수항이 음의 값을 가진다.
이 되고 장제법을 이용하여 분자를 분모로 나누면
(b)의 극점은 과이다. 따라서 부분 분수로 전개 하면
이 되고 이를 풀면 를 얻게 된다. 계수를 대입하여 전개한 는
이 되고 이를 표 3.1를 이용하여 역변환을 찾으면
이 된다.
10. 단방향 z-변환을 이용해서, 시간 영역에서 주어진 두 신호의 컨벌루션을 구하여라.
(a)
(b)
(solution)
(a)
와을 곱하여 컨벌루션의 z-변환를 구하면
가 된다. 이를 장제법을 이용하여 정리하면
(b)
와을 곱하여 컨벌루션의 z-변환를 구하면
11. z-변환을 이용하여 다음 차분 방정식을 풀어라.
(solution)
시간 지연 성질을 이용하여 양변에 단방향 z-변환을 취하면
12. 입력과 출력 신호를 가지고 시스템을 표현하는 문제를 시스템 확인이라고 한다. 다음 선형 시불변 인과 시스템의 입력과 출력이다.
시스템의 (a)임펄스 응답과 (b)전달 함수를 구하라.
(solution)
이므로 식에 대입하여 구한 전달함수는 다음과 같다.
부분 분수 전개법을 사용하면
표 3.1 참조한 임펄스 응답은
13. 다음 전달함수 로부터 선형 시불변 시스템의 차분 방정식을 구하라.
(solution)
를의 다항식의 비로 표현하면
가 되고 이므로 차분 방정식은
14. 다음 전달함수를 가지는 시스템의 안정도를 판별하라.
(solution)
전달함수의 극점은
극점이 모두 복소평면의 단위원 내에 있으므로 BIBO 안정하다
15. 아래 그림에서 주어진 시스템의 출력을 구하여라. 단이다.
(solution)
오차신호과 출력에 대한 z-변환을 각각 라 하면
여기서 입력 이므로 대입하고 정리하면
16. 이산 신호의 자기 상관 함수(autocorrelation function)는 다음 식으로 정의 된다.
다음의 z 변환쌍이 성림됨을 증명하라.
(solution)
17. 문제 3-16의 결과를 이용하여 일때,의 자기 상관 함수의 z-변환의 수렴 영역을 구하라. 이것을 다시 z-역변환하여 자기 상관 함수를 구하여 보아라.
Hint :의 수렴 영역이 이라면, 자기 상관 함수의 z-변환의 수렴 영역은 이고 자기 상관 함수는 짝함수이다. 또 이 경우 반드시 이다.
(solution)
18. 이산 신호 시스템의 전달함수가 아래 그림과 같이 단순 극점을 가질 때, 이 시스템의 안정성 여부를 판단하라.
(solution)
모든 극점이 단위 원주 이내에 있어야만 안정하므로 (1)(2)(3) 모두 불안정하다.
19. 다음 의 z-역변환을 구하라.
Hint :에 대한 분자 다항식의 차수가 분모 다항식의 차수보다 작지 않으므로, 몫과 나머지항으로 구분하여 표시한 뒤, 나머지이 있는 항을 부분 분수로 전개하여야 한다. 즉,
20. 아래 그림의 전달 함수를 구하고 안정성 여부를 확인하라.
(solution)
수렴 영역에 단위원이 포함되므로 안정하다.