은 아래와 같고, 이므로 은 아래와 같다.
5. 다음 값을 구하시오
(a)
(b)
(c)
(d)
(solution)
(a) CTFT의 컨벌루션 성질을 이용하여 각 스펙트럼의 곱을 ICTFT한다. 각 신호의 스펙트럼은 높이=1, 샘플=3와 7인 구형파이므로 곱은 샘플=2인 구형파이고, 이 신호의 ICTFT는 이다.
(b) 두 주기 신호 사이의 주기 컨벌루션 을 구하면, 각 스펙트럼의 곱의 역변환이고, 두 스펙트럼의 곱이 0이므로 컨벌루션 결과는 0이다.
(c) 의 IDTFT는 5개의 샘플을 가지는 이산 구형파 신호이고, 파서벌 정리에 의하여 =이다.
(d) [예제 4.7]로부터 는 크기가 5인 주기 구형파 신호의 푸리에 급수 계수이고, 파서벌 정리에 따라 = 이다.
6. 이다. 의 스펙트럼을 라 할 때, 에서의 값을 각각 구하시오.
(solution)
는 과 에서 1인 구형파 신호 의 곱이므로이다. 이므로 이고, 임펄스와의 컨벌루션은 축 이동이므로 이다. 는 에서 영을 가지고 이므로, , , 이다.
7. 의 스펙트럼이 그림 P4.5일 때, 의 스펙트럼을 구하시오.
그림 P4.5
(solution)
이므로 =이고, 주파수 이동성에 따라 의 스펙트럼은 이다. 또한, 은 마다 반복되므로 이므로 의 스펙트럼은 간단히 가 된다.
8. 그림 P4.6의 스펙트럼을 가지는 를 샘플링 주파수 로 샘플링 한다. 주파수 영역 에일리어싱이 발생하지 않기 위한 최소 를 구하시오.
그림 P4.6
(solution)
가 구간에서 0을 가지므로 나이퀴스트 주파수인 보다 작은 주파수 간격으로 반복하여도 에일리어싱이 발생하지 않으며, 으로 반복하면 그림과 같이 에일리어싱이 발생하지 않고, 따라서 최소값은 이다.
일 때 샘플링 된 신호의 스펙트럼
9. 2차원 공간 에서 한 물체가 에 따라 움직인다. 이 물체의 위치를 15Hz로 샘플링 하고 다시 연속 움직임으로 복원할 때, 물체가 움직이는 위치 좌표를 구하시오.
(solution)
[예제 4.11]와 동일한 방법으로 와 를 각각 15Hz로 샘플링한 후 복원하면 와 을 얻는다. 따라서 복원된 위치 좌표는 이 되고, 원 운동의 속도가 느려지고 방향이 반대로 변한다.
10. 입력 신호 와 그림 P4.7의 임펄스 응답 를 가지는 LTI 시스템에 대한 출력 신호 를 식으로 구하시오.
그림 P4.7
(solution)
에서 1인 구형파 신호를 라 하면 이다. 또한, 이므로 컨벌루션 성질에 따라 이다. 입력신호는 에서만 성분을 가지므로 이 위치에서의 시스템 주파수 응답만 구하면 된다. , , 이므로, 출력 신호는 이다.
11. 그림 P4.4의 스펙트럼을 가지는 를 0.5초로 샘플링하여 이산 시간 신호 을 얻고, 을 =4 마다 반복하여 이산 주기 신호 을 얻었다. 의 스펙트럼을 그리시오.
(solution)
샘플링에 의하여 스펙트럼이 마다 반복되고 2배 되고, 다시 주기 1로 척도조절 되어 의 스펙트럼은 아래 그림과 같다. 다음, 의 주기적 반복에 의하여 스펙트럼은 간격으로 샘플링되고 배가 되어 최종 은 아래와 같다.
12. 인 LTI 시스템에 를 입력한다. 출력 신호 를 형태로 구할 경우, 실수 값을 각각 구하시오.
(solution)
선형 시스템에 의하여 주파수는 변하지 않으므로 이다. 시스템의 영점과 극점을 구하면 아래 그림과 같고, 입력신호의 주파수 에서의 진폭 응답 를 구하면 모두 이다. 또한 시스템의 위상 응답은 그림에서 이다. 따라서 출력은 이다.
13. 그림 P4.8의 주기 입력 신호 와 임펄스 응답 에 대한 출력 신호 을 식으로 구하시오.
그림 P4.8
(solution)
IDTFT 식에서 이므로 는 에서 1인 구형파이다. 이 주기 8을 가지므로 은 에서만 성분을 가지고 이다. 이 중에서 성분만 시스템을 통과하므로 성분만 시스템을 통과하고, , 이다. 따라서 출력 신호는 이다.
14. 연속 신호 x(t)를 샘플링 주기 T초로 샘플링 하여 이산 시간 신호 를 만들었다. 만일, 를 그림 P4.9의 주파수 응답을 가지는 시스템에 통과시킨 후, 다시 연속 시간 신호를 복원하였더니 2kHz 이상의 성분이 모두 사라졌다. T를 구하시오.
그림 P4.9
(solution)
샘플링 주파수가 Hz이므로 이 값이 에 해당하고, 은 Hz에 해당한다. 시스템에 의하여 이상 성분이 제거되므로 이고, 초이다.
15. 를 5Hz로 샘플링 한 신호의 스펙트럼을 구하시오
(solution)
를 마다 반복하고 5배하면 에일리어싱이 발생하고 아래의 스펙트럼을 얻는다.
16. 의 스펙트럼이 그림 P4.5이다. 의 스펙트럼을 그리시오.
(solution)
를 초 샘플링 하여 를 얻었다고 가정한다. 그러면 에 따라 를 초 샘플링 하면 를 얻는다. 먼저, 의 스펙트럼 을 구하면 아래와 같다. 다음, 를 초 샘플링 하여 를 구하면 스펙트럼 를 얻고, 이를 이산 신호 로 변환하여 스펙트럼 를 얻는다.
17. 의 진폭응답을 구하시오. 단, 영점과 극점의 위치를 이용하여 대략적인 모양을 구하면 된다.
(solution)
이므로 영점/극점이 아래와 같고, 부근에서 큰 진폭응답을 가진다.
18. 시스템에 대하여, 새로운 시스템 이 전역 통과 시스템이 되기 위한 안정적 시스템 를 구하시오.
(solution)
이므로 영점=0, -2, 극점=2, -0.5 이다. 전역 통과 시스템이 되기 위하여 영점과 극점이 역수 관계를 가져야 하며, 따라서 새로운 영점 0.5 가 추가되어야 한다. 따라서 이면 는 전역 통과 시스템이 된다.
19. 시스템이 일 때, 시스템의 DC 응답, 즉 을 구하시오.
(solution)
시스템의 영점=0, 2, 극점=2, -0.5이므로 부터 각 거리를 구하여 응답을 구하면 이다.
20. 인 인과/안정적 시스템은 최소위상 시스템이 아니다. 이 시스템과 동일한 진폭응답을 가지는 최소위상 시스템을 z-변환 형태로 구하시오.
(solution)
를 최소 위상 시스템과 전역 통과 시스템으로 분해할 때 최소 위상 시스템은 단위 원 밖의 영점을 역수로 변경하면 얻어진다. 의 영점=0.5, 2, 극점=이므로 최소 위상 시스템은 극점=과 영점=0.5, 0.5을 가지고
이다.