회귀 과정 AR(p)는 다음과 같은 형태를 취한다.
, 단(t=1, 2,…,t-1, T)--(식2)
위에서ψ는 자기회귀과정의 시차변수의 계수이고 ut는 오차로서 백색잡음과정이며 기대값은 E(ut)=0이고 분산은 t=τ에 대하여 E(utuτ)=σ2이고 t≠τ에 대하여 E(utuτ)=0이다. 자기회귀 모형의 정상성이 유지되기 위하여는 ψ(L)의 근들이 단위근 외부에 존재해야 한다. E(utuτ)=σ(t=τ)이므로 ut의 무조건부 분산 σ2 은 상수(constant)지만, 조건부 분산은 시변분산이다.
ht는 시점 t-1을 포함한 그 이전 과거기간동안의 총정보집합()에 영향을 받는 측정 가능한 시변분산이다. 앞서 설명한 바와 같이 ut는 시계열 상관이 없으며 평균이 0이고 조건부 분산이 ht 이다. 조건부 분산 ht 는 w>0 이고 αi≥0이다. 그런데 ut-i=yt-i - w - ψi yt-i-1(i = 1, …, q)이므로 ht는 Ωt-1의원소들의 함수이다.
오차항 ut-i의 과거 실현된 값들을 조건부로 하는 현재 오차 ut의 분산은 시차 오차들의 부호와는 상관없이 과거시계열 자료의 시차별 오차들의 증가함수이다. 따라서 부호(+/-)에 상관없이 큰(작은) 오차(변동성)가 발생하면 그 다음에도 큰(작은) 오차(변동성)가 발생하는 현상은 ARCH과정에 의하여 포착이 가능하다.
금융시계열 변동성에 대한 정형화된 사실은 정규분포보다 첨예한 정점과 두꺼운 꼬리(fat tail) 분포를 가지는 좌우 비대칭적 양상이다. ARCH과정 역시 fat tail하며, 첨도는 정규분포의 3보다 큰 첨예분포(leptokurtic)다.
후행연산자 (L)이 두 개의 유한차수 다항식(finite-order polynomial)의 비율로서 δ(L)이 모수 δ의 시차작용소(time lag operator)라 할 때 (L) = α(L)/[1 - δ(L)]이라 하면 식(18)은 ht = θ + (L)ut2과 같이 쓸 수 있으며 이때 ht는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[1 - δ(L)]ht = [1 - δ(L)]θ + α(L)ut2, t = 1, …, T. ------(식3)
위 식은 다시 (식1)로 나타낼 수 있다.
(식1)과 (식3)을 결합한 일반 자기회귀 조건부 이분산 = [1 - δ1 - δ2 - … - δp]θ이다. 앞의 (식3)이 일반화된(generalized) 자기회귀 조건부 이분산(GARCH(p, q))과정이다. GARCH(p, q)과정은 유리수적 시차작용소를 계수들에 부과한 무한차수 ARCH()과정이다. 따라서 GARCH과정은 ARCH의 성질이 모두 존재하므로 고차의 ARCH과정의 차수를 최소화시킨 모형이다.
Ⅸ. 결론 및 제언
“어떻게 주식의 수익률을 예측할 수 있을까?” 이 질문은 자본시장을 연구하는 많은 학자들이 인생을 바쳐서 탐구해야 할 화두중의 화두이다. 미국의 경제학자인 Keynes는 ‘미래의 주가를 신뢰성 있게 예측한다는 것은 거의 불가능하다’라고 언급하여 주가 예측의 어려움을 표현하였다. 그러나 완벽한 예측은 불가능 할지라도 예측의 오차를 줄이기 위한 줄기찬 노력들은 자본시장 연구가들에 의해서 과거부터 현재까지 합리적이고 과학적인 방법을 꾸준히 전개해 오고 있다.
그 노력은 길게는 재무관리가 독립된 학문으로 자리 잡기 시작하는 1900년까지 거슬러 올라갈 수 있으나, 본격적인 시발점은 1952년에 발표된 Markowitz의 논문에서부터이다. Markowitz의 M-V 기준에 따른 포트폴리오 선택이론 이후 CAPM(Capital asset princing model)등 많은 모형들이 개발되어 재무학의 자산가격결정이론은 발전에 발전을 거듭하여 왔다.
그러나 이러한 이론들은 예측의 관점보다는 자산가격결정의 관점에서 엄격한 가정위에 성립하였다. 처음 발견한 CAPM과 APM등에서 볼 수 있듯이 투자집합기회의 변화가 없는 단일기간을 가정하고 있으며, 70년대 중반부터 CCAPM(Consumption-based CAPM) 등에서 보듯이 거래가 다기간에 걸쳐 연속적으로 행해지며 투자기회집합이 일정한 형태의 분포에 따라 변한다고 가정을 하고 있다. 그리고 이러한 이론들은 엄격한 가정들로 인하여 그 가정의 현실성 여부에 분석의 중점을 두고 있다.
그러나 이론의 가치는 그 가정의 현실성 여부가 아닌 현실에 대한 설명능력에 있다. 어느 특정이론의 가정과 관련하여 중요한 문제는 그 가정이 얼마나 현실적이냐 하는 것이 아니다. 왜냐하면 이론의 가정들이란 결코 현실적일 수 없기 때문이다. 문제는 그 이론이 목적하는 바를 얼마나 그에 가깝게 설명할 수 있느냐에 있으며 이는 그 이론이 현실적으로 작용하는지, 그럼으로써 미래의 상황을 충분히 정확하게 예측할 수 있는 지를 검증함으로써 가능하다.
이와 같이 70년대 후반부터 이러한 모형들이 안고 있는 정규성, 동분산성, 균형시장, 완전시장, 동질적 예측 등 엄격한 가정으로 인한 현실과의 괴리를 제거하기 위한 연구들이 다각적으로 모색되었다. 여기에 1976년 발표된 Box Jekins 모형과 80년 Sim의 Vector 자기회귀모형 등 시계열 통계분석 방법의 급진적 발달은 예측을 위한 유용한 도구가 되었다. 이러한 시계열 방법에 의한 조건부 이 분산을 가정하여 자산의 가격을 예측하는 새로운 모형인 ARCH모형을 Engel이 제시하는 성과를 거두기도 하였다. 이후 더욱더 정교하게 발전되어 온 통계적 방법과 컴퓨터 발달에 따른 각종 통계 Package의 개발 등에 힘입어 시계열 방법을 중심으로 한 실증분석은 보편화되기 시작하였다.
참고문헌
▷ 이석렬(1995), 한국증권시장에서 주가수익률과 기업규모효과에 관한 실증분석, 경북대학교
▷ 이상권(2003), 자사주 매입 관련 신호가설과 부의 이전가설에 대한 실증 검증, 연세대학교
▷ 정병대 외 1명(2002), 주가수익률의 비대칭적 변동성에 관한 연구, 한국리스크관리학회
▷ 정경호(1987), 공정거래법 개정과 증권업의 제문제, 금융감독원
▷ 최규권(2004), 주가수익률 변동성과 거시경제변수 변동성의 관계 연구, KAIST
▷ 한문성(2011), 자산재평가 정보가 주가수익률에 미치는 영향, 한국회계정보학회