와 , 의 상관계수를 구하라.
상관계수는 엑셀 함수(CORREL 또는 PEARSON)나 KESS를 사용해 구할 수 있다. 물론 데이터 개수가 적을 경우에는 상관계수 공식을 사용해 수기로 계산할 수 있을 것이다. 다음은 엑셀 함수 CORREL로 상관계수를 구한 것이다.
과 Y의 상관계수 r = CORREL(A2:A19,C2:C19) = 0.693
와 Y의 상관계수 r = CORREL(B2:B19,C2:C19) = 0.354
상관계수는 -1과 1사이의 값으로 1 또는 -1에 가까울수록 양 또는 음의 상관관계를 강하게 가지는 것으로 해석한다. 상관계수가 0이면 두 변수 간에는 상관관계가 없다고 판단한다. 여기서 상관관계는 선형(직선)관계를 의미한다. 따라서 상관계수가 0이 되는 경우에도 선형관계가 아닌 다른 함수관계는 존재할 수 있다. 또한 상관계수의 선형관계는 인과관계의 의미가 아니라 단순히 두 변수 간의 직선 관계만을 보여주는 것이다. 따라서 위 결과를 보면 이 보다 1에 더 가까우므로 이 보다 Y에 대해 상관관계가 더 큰 것으로 판단한다.
(3)Y를 반응변수로 하고, 을 독립변수로 한 단순회귀모형과 를 독립변수로 한
단순회귀모형을 각각 적합시키고, 두 모형을 비교, 분석하여라.
엑셀에서 ‘데이터’ 메뉴 클릭, ‘데이터 분석’ 클릭, ‘분석도구’에서 ‘회귀분석’을 선택하고 확인을 클릭한 후 회귀분석을 실행해보면 다음의 결과가 나온다.
과 를 설명변수, Y를 반응변수로 하여 적합된 회귀식은 다음과 같다. 회귀계수 (Y절편)와 (기울기)는 위 그림에서 계수 값에 해당한다.
,
회귀모형의 적합도는 제곱합의 분할을 이용하여 이루어진다. 총제곱합 SST에서 SSE(오차제곱합)이 차지하는 부분이 작을수록, 즉 SSR(회귀제곱합)이 차지하는 부분이 클수록 추정된 회귀모형의 적합도가 높다. 이때 총변동 SST 중에서 설명된 변동 SST가 차지하는 비를 결정계수 이라 정의하고, 회귀직선의 적합도를 나타내는 측도로 사용된다. 결정계수는 0과 1사이의 값으로 1에 가까울수록 관측값이 회귀직선 주위에 밀집되어 있음을 나타내고, 이는 추정된 회귀식이 관측값들을 잘 설명하고 있다는 의미가 된다.
위 회귀분석에 따르면 설명변수가 인 경우 결정계수는 0.481이고, 인 경우 결정계수는 0.126이다. 이 보다 1에 더 가까우므로 의 적합된 회귀식이 실제 관측값들을 상대적으로 더 설명한다.
또한 위 그림의 분산분석표에서 의 경우, p-값 0.001이 유의수준 0.05보다 작으므로 적합된 회귀선은 유의하다 할 수 있다. 귀무가설이 β=0, 즉 회귀계수의 기울기가 0이라고 한다면, 귀무가설은 기각되고 추정된 회귀모형식이 데이터를 설명하는 데 유의하다고 할 수 있다. 반면, 의 경우에는, p-값이 0.149로 유의수준 0.05보다 크다. 따라서 회귀계수의 기울기가 0이라는 귀무가설은 기각될 수 없다. 즉, 설명변수 의 적합된 회귀식은 관측값 Y를 잘 설명한다고 볼 수 없다. 앞서 살펴본 대로 결정계수 또한 0.126으로 0에 가까워 적합한 회귀식으로 보기 어려운 것이다.
5. 교재 315쪽 연습문제 8번, 10번 (15점)
8. 자동차의 휘발유에 특정한 첨가제를 사용하면 주행거리에 영향을 미치는가를 조사하고자 한다. 다섯 종류의 새로운 차에 대하여 동일 형태의 차 두 대를 랜덤하게 선택하여, 한 대에는 첨가제를 사용하고, 다른 한 대에는 사용하지 않고, 같은 장소에서 같은 운전자가 운전한 결과 1당 주행거리에 대한 자료를 얻었다. 첨가제를 사용하면 주행거리가 증가한다고 말할 수 있는지를 쌍체비교를 이용하여 검정해 보시오.
1 당 주행거리 (단위: km)
차의 종류
1 2 3 4 5
첨가제 사용하는 경우
11.8 13.9 16.3 11.6 8.4
첨가제를 사용하지 않는 경우
11.4 13.1 16.1 10.9 8.3
엑셀의 ‘데이터’ 메뉴의 ‘데이터 분석’을 클릭, ‘t-검정 쌍체비교’를 선택하고 확인을 누르고, 쌍체비교를 실행하면 아래 그림과 같은 출력 결과가 나온다.
첨가제를 사용한 경우의 평균 주행거리 μ1이라 하고, 첨가제를 사용하지 않은 경우의 평균 주행거리를 μ2라고 할 때 귀무가설과 대립가설은 다음과 같다.
H0 : μ1=μ2, H1 : μ1>μ2
위 그림에서 쌍체비교를 위한 t-검정통계량의 관측값 t=3.23, 유의수준 α=0.05에서 단측 기각치 t(4, 0.05)=2.13이고, 단측 검정에 대한 유의확률 p-값=0.016045임을 알 수 있다. 따라서 p-값이 유의수준 α보다 작으므로 귀무가설 H0를 기각한다. 즉, 첨가제 사용에 의해 평균 주행거리가 증가했다고 볼 수 있다.
10. 다음은 어떤 직물의 가공 시 처리액의 농도를 인자로 하여 A1=3.0%, A2=3.3%, A3=3.6%, A4=3.9%, A5=4.2%의 5수준에서 각각 4회씩 반복하여 총 20회를 랜덤하게 처리한 후의 인장강도(kg/cm2)를 측정한 후 얻은 자료이다. 엑셀을 이용하여 분산분석표를 작성하고, 인자 A에 대한 유의성 검정을 하시오.
인장강도
46.8
58.0
51.4
56.5
51.2
62.4
58.5
61.9
50.2
49.8
45.2
48.8
40.8
41.8
45.5
35.9
30.2
25.8
32.4
29.2
엑셀에서 위 자료를 입력한 후, ‘데이터’ 메뉴에서 ‘데이터 분석’ 도구를 선택하고 ‘분산분석:일원배치법’을 선택한다. 입력범위 등을 지정하고 확인을 누르면 아래 그림과 같은 결과가 나온다.
인자의 수준 간에 특성 값의 차이가 있는지 검정하기 위한 가설은 다음과 같다.
H0 : α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = 0 (단, αi는 인자 A의 i수준의 효과이다.)
H1: 적어도 하나의 αi는 0이 아니다.
위 분산분석표의 결과를 보면 F 비 31.71은, 유의수준 α=0.05인 경우의 기각치(F 기각치) σ2=3.06보다 크며, 유의확률(p-값=3.7E-7)은 유의수준(α=0.05)보다 작으므로, 유의수준 α=0.05에서 각 인자 수준 간에 차이가 없다는 귀무가설은 기각된다. 즉, 직물의 가공 시 처리액의 농도에 따라 직물의 인장강도에 영향을 미친다는 것을 알 수 있다.